필드

필드(Field, 체)

대수적 구조의 하나로 사칙연산을 집합 안에서 소화할 수 있는 집합을 의미한다(연산의 결과 또한 해당 집합의 원소). 체에 대한 기본적인 예시로는 유리수의 집합($\mathbb Q$), 실수의 집합($\mathbb R$), 복소수의 집합($\mathbb C$) 등이 있으며, 나눗셈을 하였을 때 나누어 떨어지지 않는 정수의 집합($\mathbb Z$)은 체가 되지 않는다.

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• Ch2 - 43p

복소수(Complex number)

실수만 고려하면 $x^2 = -1$의 해를 찾을 수 없다. 이런 문제를 해결하기 위해 수학자들은 $i$를 도입하였으며, 이는 보통 -1의 제곱근으로 정의된다. 실수와 $i$의 곱은 허수(imaginary number)라고 한다.

식 $(x - 1)^2 = -1$에 대한 해는 $x = 1 + 3i$이며, 이와 같은 실수와 허수의 합을 복소수라 한다.

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• Ch2 - 43p

필드의 추상화

• 개념, theorem, 프로시저를 산술 연산자 $+$, $-$, $*$, $/$에 대해 기술한다.
• 이들 연산자는 교환법칙, 결합법칙과 같은 기본적 법칙만을 만족한다고 가정한다.

개념, theorem, 프로시저는 이들 기본 법칙에만 의존하므로, 필드라 불리는 임의의 수 체계에 적용할 수 있다.

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• Ch2 - 45p

복소수 필드 $\mathbb C$

각 복소수 $z$는 두 개의 일반적인 수 $z.real$과 $z.imag$로 이루어지며, 전통적으로 $z$는 평면(복소평면) 위의 어떤 점, 위치를 명시한다고 생각한다.

복소수의 절대값

복소수 z의 절대값($|z|$)은 복소 평면의 원점에서 대응하는 점까지의 거리를 말하는데, 이는 피타고라서 정리에 의해서 $|z|^2 = (r.real)^2 + (r.imag)^2$이다.

공액 복소수(Definition 2.4.2)

복소수 $z$의 공액 복소수는 $\bar{z}$로 쓰며, $z.real - z.imag$로 정의된다. $\mathbf{i}^2 = -1$이란 사실을 이용하면 $|z|^2 = z \cdot \bar{z}$에 대한 식을 얻을 수 있다.

복소수 덧셈하기

복소수들에 대한 평행이동은 $f(z) = z_0 + z$와 같은 형태를 가지며, 여기서 $z_0$는 복소수이고 이에 의해 평행이동을 한다.

복소수를 화살표로 그리기

화살표의 꼬리는 복소 평면의 임의의 점 $z$에 위치하고 화살표의 머리는 $z$가 이동한 점 $f(z)$에 위치한다(이 표현이 고유한 것은 아님). 평행이동은 $f(z) = z_0 + z$ 형태를 가지므로, 평행이동은 $z_0$에 의해 표현된다.

평행이동 합성하기, 화살표 더하기

$f_1(z) = z_1 + z$와 $f_2(z) = z_2 = z$를 두 개의 평행이동이라 할 때, 이 둘을 합성하면 $z \mapsto (z_2 + z_1) + z$에 의해 정의되는 또 다른 평행이동이 만들어진다.

$$\begin{aligned} (f_2 \circ f_1)(z) &= f_2(f_1(z)) \\ & = f_2(z_1 + z) \\ & = z_2 + z_1 + z \end{aligned}$$

양의 실수로 복소수 곱하기

복소수에 양의 실수를 곱하면, 각 복소수의 실수 좌표와 허수 좌표의 크기를 변경해 그래프의 크기를 변경한다. 이를 스케일링(scaling)이라고 한다.

$$f(z) = \cfrac{a}{b} \cdot z$$

음수로 복소수 곱하기: 180도 회전

복소수에 음수 -1을 곱하면 원점 주위를 180도 회전한다.

$$f(z) = -1 \cdot z$$

$i$를 곱하기 : 90도 회전

도형을 90도 회전하고자 한다면 $(x, y)$에 위치한 점을 $(-y, x)$로 움직이면 된다. $(x, y)$에 위치한 복소수는 $x + iy$이므로, $i^2 = -1$라는 사실을 이용하여 $x + iy$에 $i$를 곱하여 $ix + i^2y = ix - y$를 얻어낸다. 이때 이를 점으로 나타내면 $(-y,x)$이다.

$$f(z) = i \cdot z$$

복소 평면의 단위원: 편각(argument)과 각도(angle)

180 또는 90도의 회전이외에 어떠한 회전도 복소수 곱에 의해 표현할 수 있다. 하지만, 회전 각도의 측도로 각도(angle) 대신 라디언(radian)을 사용하는 것이 편리하다.

단위원 위에 있는 복소수의 편각

단위원은 복소 평면의 원점에 중심을 둔 반지름 1인 원이다.

원위의 점 $z$는 원의 가장 오른쪽 점인 $1 + 0i$에서 시작하여 $z$에 도달할 때까지 원을 따라 반시계 방향으로 이동하는 거리로 표현되는데 이러한 거리를 $z$의 편각이라 한다.

단위원 위의 두 복소수에 의해 형성된 각도

단위원 위의 두 점 사이에 형성된 각도에 숫자를 할당할 수 있고 이는 라디안으로 표현된다. 이때 이 각도는 두 점 사이를 반시계 방향으로 원을 따라 이동한 거리이다.

오일러 공식

오일러 공식은 임의의 실수 $\theta$에 대해, $e^{i \cdot \theta}$는 편각이 $\theta$인 단위원의 점 $z$라는 것을 의미한다(여기서 $e$는 초월수(transcendetal number)이다). 오일러 공식은 단위원 위에 있는 복소수를 쉽게 표현할 수 있는 방법을 제시한다.

$$e^{i \cdot \theta}= \cos \theta + i \sin \theta$$

예를 들어 $-1 + 0i$의 편각 $\pi$를 오일러 공시에 대입하면, $e^{i \pi} = - 1 + 0$을 얻을 수 있다.

복소수에 대한 극좌표 표현

$L$을 원점에서 $z$까지의 복소 평면 위에 있는 선분이라 하면, $z'$은 이 성분이 단위원과 교차하는 점이라고 하고 $r$은 $z$까지의 선분의 길이라고 할 때, 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\begin{aligned} z' & = \frac{1}{r} z \quad \because \text z' {은 } z \text{를 축소한 것} \\ \\ & \theta \text {가 } z' \text{편각일 때, } \\ z & = re^{\theta i} \quad \because \text{오일러 공식에 의하여, } z' = e^{\theta i} \end{aligned}$$

여기서 $r$과 $\theta$는 $z$의 극좌표이며, $z$의 절대값($|z|$)은 $r$이라고 정의한다.

첫 번째 지수 법칙

지수에 대한 곱은 그 지수들을 더하면 되는데, 이 규칙은 복소수 $z$를 어떻게 회전시키는지 이해하는데 도움을 준다.

$$e^u + e^v = e^{u + v}$$

$\tau$ 라디안 회전

$\tau$를 라디안 값이라 할때, $z$를 $\tau$만큼 회전한 것은 $z$와 절대값은 같고 편각은 $z$보다 $\tau$만큼 더 커야한다. 즉, $\tau$만큼 회전한 $z$는 $re^{(\theta + \tau) i}$이다.

$$\begin{aligned} re^{(\theta + \tau) i} & = r e^{\theta i} e^{\tau i} \\ & = z e^{\tau i} \quad \because \text re^{\theta i} = z \\ \end{aligned}$$

따라서 $\tau$만큼 회전한 것을 나타내는 함수는 단순히 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$f(z) = z e^{\tau i}$$

연산 결합하기

복소수는 필드를 형성하므로, 익숙한 대수적 규칙들을 사용할 수 있다. (결합법칙 등...)

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• Ch2 - 46~58p

$GF(2)$ - 갈루아 필드(Galois Field 2)

$GF(2)$ 필드는 두 개의 원소 $0$과 $1$를 가지며, 아래의 두 표를 만족한다.

$$\begin{array}{|c|c|c|} + & 0 & 1 \\ \hline 0&0&1\\ 1&1&0\\ \end{array}$$

덧셈과 뺄셈은 modulo 2 이며 배타적 논리합(exlusive-or)과 같다.

$$\begin{array}{|c|c|c|} \times & 0 & 1 \\ \hline 0&0&0\\ 1&0&1\\ \end{array}$$

곱셈과 나눗셈은 일반적인 $0$과 $1$의 산술 연산과 같다.

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• Ch2 - 58p