[Coding The Matrix] 벡터의 생성, 선형결합, 벡터공간, 아핀공간

Coding The Matrix를 보면서 벡터의 생성, 선형결합, 벡터공간, 아핀공간의 정의에 대해 자주 잊어버려 읽을 때 참고하고자 이를 정리하고자 한다.

생성의 정의(Definition 4.2.1)

벡터들 $v_1, ..., v_n$ 의 모든 선형결합으로 이루어진 집합을 이 벡터들의 생성이라하고 $Span \{v_1, ..., v_n\}$ 라고 쓴다.

이 정의를 이해하기 위해서는 선형결합이 무엇인지 먼저 알아야한다.

선형결합의 정의(Definition 4.1.1)

$v_1, ..., v_n$ 각각을 벡터라고 하자. $v_1, ..., v_n$ 의 선형결합을 다음과 같은 합이라고 정의하자.

$\alpha_1 v_1 + ... + \alpha_n v_n$

여기서, $\alpha_1, ..., \alpha_n$ 은 스칼라이다. 이 선형결합에서 $\alpha_1, ..., \alpha_n$ 각각은 계수라고 한다. $\alpha_1$ 은 $v_1$ 의 계수이고, $\alpha_2$ 은 $v_2$ 의 계수이며, ..., $\alpha_n$ 은 $v_n$ 의 계수이다.

문득 궁금했던 것이 생성은 영벡터를 항상 포함하는지 궁금하였다. 생성은 벡터들 $v_1, ..., v_n$ 의 모든 선형결합으로 이루어진 집합이기 때문에 영벡터를 항상 포함할 것으로 생각된다.

아래와 같이 $GF(2)$ 상의 $Span \{[1, 1], [0, 1]\}$ 에 있는 벡터를 살펴보면,

0[1,1] + 0[0,1] = [0,0]\\ 0[1,1] + 1[0,1] = [0,1]\\ 1[1,1] + 0[0,1] = [1,1]\\ 1[1,1] + 1[0,1] = [1,0]

생성의 4개의 벡터가 있음을 볼 수 있는데, 선형결합의 $\alpha_1, ..., \alpha_n$ 계수가 모두 0인 경우에 영벡터를 포함하게된다. $\alpha_1, ..., \alpha_n$ 계수의 범위를 한정 지어주거나, 평행이동을 하지 않는 이상 생성에는 영벡터가 포함되는 것이 아닐까한다.

벡터공간의 정의(Definition 4.4.1)

벡터들의 집합 V가 Property V1, V2, V3를 만족하면, 벡터공간이라고 한다.

Property V1: $V$ 는 영벡터를 포함한다.
Property V2: 모든 벡터 $v$ 에 대해, 만약 $V$ 가 $v$ 를 포함하면 $V$ 는 모든 스칼라 $\alpha$ 에 대해 $\alpha v$ 를 포함하고 스칼라-벡터 곱에 대해 닫혀 있다.
Property V3: 모든 벡터들의 쌍 $u$ , $v$ 에 대해, 만약 $V$ 가 $u$ , $v$ 를 포함하면 $V$ 는 $u + v$ 를 포함한다.

어떤 벡터들의 생성과 동차 선형 시스템의 해집합은 벡터공간이다. 두 경우 모드 영벡터를 포함하고 덧셈, 곱셈에 닫혀있다.

아핀공간의 정의(Definition 4.5.8)

아핀공간은 벡터공간을 평행이동한 결과이다. 즉, 집합 $A$ 는 다음을 만족하는 벡터 $a$ 와 벡터공간 $V$ 가 있으면 아핀공간이다.

$A = \{a + v : v \in V\}$

즉 $A = a + v$ 이다.

원점을 지나지 않는 직선에 대해서 어떻게 생성으로 표현할 것인가에 대해 궁금하였었는데, 벡터공간을 평행이동한 아핀공간을 통하여 표현하면 된다.

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